Thí nghiệm lý tưởng về sự truyền nhiệt trong một thanh trụ dài với điều kiện biên đồng nhất.

Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình sau đây đã được đưa ra bởi Joseph Fourier trong luận văn Théorie analytique de la chaleur của ông, xuất bản năm 1822. Giả sử chúng ta xét phương trình nhiệt trong không gian 1 chiều. Phương trình này có thể dùng để miêu tả sự lan truyền nhiệt trong một thanh dài. Phương trình được viết dưới dạng

( 1 )   u t = k u x x {\displaystyle (1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad }

với u = u(t, x) là một hàm số của 2 biến t và x. Ở đây

• x là biến không gian, do vậy x ∈ [0,L], với L là chiều dài của thanh.
• t là biến thời gian, do đó t ≥ 0.

Chúng ta giả sử điều kiện ban đầu là

( 2 )   u ( 0 , x ) = f ( x ) ∀ x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle (2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad }

với hàm số f được cho trước và các điều kiện biên là

( 3 )   u ( t , 0 ) = 0 = u ( t , L ) ∀ t > 0 {\displaystyle (3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad } .

Giả sử chúng ta tìm nghiệm của (1) không phải là hàm số zero và thỏa mãn các điều kiện biên (3) nhưng với thêm một tính chất sau: u là một tích mà sự phụ thuộc của u lên x, t là phân tách được, nghĩa là:

( 4 )   u ( t , x ) = X ( x ) T ( t ) . {\displaystyle (4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad }

Kỹ thuật tìm nghiệm này được gọi là phương pháp tách biến. Thay thế u vào phương trình (1),

T ′ ( t ) k T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) . {\displaystyle {\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad }

Bởi vì vế phải phụ thuộc vào x và vế trái chỉ phụ thuộc vào t, cả hai về phải bằng một hằng số − λ nào đó. Do vậy:

( 5 )   T ′ ( t ) = − λ k T ( t ) {\displaystyle (5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad }

và

( 6 )   X ″ ( x ) = − λ X ( x ) . {\displaystyle (6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad }

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các nghiệm của (6) cho các giá trị khác nhau của λ ≤ 0 là không thể xảy ra:

1. Giả sử rằng λ < 0. Sẽ có 2 số thực B, C sao cho X ( x ) = B e − λ x + C e − − λ x . {\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}

   Từ (3) chúng ta có

   X ( 0 ) = 0 = X ( L ) . {\displaystyle X(0)=0=X(L).\quad }

   và do đó B = 0 = C dẫn đến u hoàn toàn bằng 0.

2. Giả sử λ = 0. Sẽ có các số thực B, C sao cho X ( x ) = B x + C . {\displaystyle X(x)=Bx+C.\quad }

   Từ phương trình (3) ta kết luận cũng giống như trường hợp 1 là u bằng 0 mọi nơi.

3. Do đó, ta phải có λ > 0. Có các số thực A, B, C sao cho T ( t ) = A e − λ k t {\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad }

   và

   X ( x ) = B sin ⁡ ( λ x ) + C cos ⁡ ( λ x ) . {\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}

   Từ (3) ta có C = 0 và do đó với một số tự nhiên dương n,

   λ = n π L . {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}

Nghiệm này giải phương trình nhiệt trong trường hợp đặc biệt khi sự phụ thuộc vào u có dạng đặc biệt (4).

Một cách tổng quát, tổng các lời giải của (1) thỏa mãn điều kiện biên (3) cũng thỏa mãn (1) và (3). Ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1), (2) và (3) có dạng

u ( t , x ) = ∑ n = 1 + ∞ D n ( sin ⁡ n π x L ) e − n 2 π 2 k t L 2 {\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}}

với

D n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sin ⁡ n π x L d x . {\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}